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Historique du programme de colle
17/10/2017


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  • Espaces préhilbertiens : (fichier ici)
  • Equations différentielles linéaires : (fichier ici)
  • Fonctions de plusieurs variables : (fichier ici)
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  • Emmy Noether sur Wikipedia
  • Vous trouverez dans cette page l'historique des programmes de colles
  • en colonne centrale, le programme des interrogations orales de chaque semaine,
  • dans la colonne de droite, des liens hypertextes vers les programmes des différentes semaines;
  • dans cette colonne, les liens vers les polycopiés dans l'ordre chronologique.


  • historique des colles de l'année passée 2015-2016
  • Le programme de la semaine 1
    du lundi 19 septembre au vendredi 23 septembre 2016

    Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire.

  • Polynômes: factorisation dans \(\mathbb{C}\) ou \(\mathbb{R}\);
  • Algèbre linéaire: parties libres, génératrices, bases ;
  • Sous espaces supplémentaires; projections et symétries; théorème du rang.
  • Matrices par blocs.


  • Question de cours n°1 :

  • Caractérisation des hyperplans (dim qque, thm 2 du poly (fichier ici) ).

  • Question de cours n°2 :

  • Supplémentaires en dimension fine: on demandera une démonstration choisie dans le lemme 5, le thm 6, le thm 7, page 7 du poly (fichier ici) .

  • Question de cours n°3 :

  • L'exercice 9 du poly des révisions estivales (fichier ici) . C'est un exercice de la banque CCP.

  • Question de cours n°4 :

  • Factorisation des polynômes, l'exercice 14 du poly des révisions estivales (vu en TD) (fichier ici) .

  • Le programme de la semaine 2
    du lundi 25 septembre au samedi 01 octobre 2016

    Réduction des endomorphismes en dimension finie.

  • Notions de valeur propre, de sous-espace propre, de vecteur propre d'un endomorphisme de \(E,\) \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie;
  • Endomorphismes diagonalisables, trigonalisables; matrices diagonalisables, trigonalisables dans \(\mathcal{M}(\mathbb{K})\);
  • Polynôme caractéristique; caractérisation des endomorphismes trigonalisables à l'aide de leur polynôme caractéristique;
  • Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe.
  • Polynômes d'endomorphismes, première approche. Le théorème de Cayley-Hamilton.


  • Question de cours n°1 :

  • Exercice 36 du poly (fichier ici) : déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, la question 2 seulement.

  • Question de cours n°2 :

  • Caractérisation des endomorphismes trigonalisables (thm 29 du poly (fichier ici) ).

  • Question de cours n°3 :

  • Les sev propres de \(f\) sont en somme directe (exercice 45 page 35 du poly (fichier ici) ).

  • Question de cours n°4 :

  • Polynômes d'endomorphismes et polynômes annulateurs: la proposition 35, page 40 (fichier ici) .

  • Le programme de la semaine 3
    du lundi 03 octobre au samedi 08 octobre 2016

    Réduction des endomorphismes en dimension finie, suite.

  • Révision du programme précédent (on ne fait qu'affiner).
  • Le théorème de Cayley-Hamilton.
  • Caractérisation des endomorphismes diagonalisables par l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\).
  • Idéal dans un anneau (commutatif); idéaux de \( (\mathbb{Z} ,+,\times)\)) de \( (\mathbb{K} [X] ,+,\times)\)). Notion de polynôme minimal d'un endomorphisme.


  • Question de cours n°1 :

  • Exercice 1 du poly algèbre linéaire 2 (fichier ici) : on démontre qu'un endomorphisme de E, \(\mathbb{K}\)-ev, est diagonalisable ssi il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\).

  • Question de cours n°2 :

  • Caractérisation des sous-groupes de \( (\mathbb{Z},+,\times)\)).

  • Question de cours n°2 :

  • Caractérisation des idéaux de \( (\mathbb{K} [X],+,\times)\).

  • Question de cours n°4 :

  • Démonstration des propositions du théorème 6 page 7 du poly alg linéaire 2 (fichier ici) .

  • Le programme de la semaine 4
    du lundi 10 octobre au samedi 15 octobre 2016

    Réduction des endomorphismes en dimension finie, suite et fin.

  • Révision des programmes précédents.
  • Caractérisation des endomorphismes diagonalisables par l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\).
  • Idéal dans un anneau (commutatif) . Notion de polynôme minimal d'un endomorphisme.
  • Le lemme des noyaux.

  • Barycentres et convexité

  • Notion de barycentre (dans un espace vectoriel vu comme un espace affine!).
  • Ensembles convexes.


  • Question de cours n°1 :

  • Pas cette semaine, des exercices (la démonstration du lemme des noyaux viendra plus tard) ...

  • Le programme de la semaine 5
    du lundi 17 octobre au samedi 05 novembre 2016

    Barycentres et convexité (suite)

  • Notion de barycentre (dans un espace vectoriel vu comme un espace affine!).
  • Ensembles convexes.
  • Caractérisation des fonctions convexes; inégalités de convexité.


  • Relations de comparaison

  • Relations de comparaison, règles de calcul, notations \[f(x) \mathop{=}_{x\rightarrow a} O(g(x)), \,\,f(x) \mathop{=}_{x\rightarrow a} o(g(x)), \,\,f(x) \mathop{\sim}_{x\rightarrow a} g(x),\]
  • Les élèves doivent se ramener à la définition dès que les quelques règles de calcul énoncées en cours ne sont pas clairement en oeuvre. Ils disposent pour cela d'une règle non écrite qu'ils devront impérativement suivre (et se feront peut-être un plaisir d'énoncer).

  • Application aux calculs de limites, de DL...


  • En raison de la coupure, les questions de cours feront l'objet d'une interrogation le premier lundi...


    Question de cours n°1 :

  • Démonstration du lemme des noyaux

  • Question de cours n°2 :

  • Caractérisation barycentrique des convexes.


  • Question de cours n°3 :

  • Exercice 3 question 2 du poly (fichier ici)

  • Question de cours n°4 :

  • La relation \(\sim\) est symétrique.


  • Questions de cours n°5,6,7,8,... :

  • Et enfin les exos CCP 1, 3, 4, 43

  • Le programme de la semaine 6
    du lundi 7 novembre au samedi 12 novembre 2016

    Barycentres et convexité

  • surtout les fonctions convexes.


  • Relations de comparaison

  • Relations de comparaison, règles de calcul, notations \[f(x) \mathop{=}_{x\rightarrow a} O(g(x)), \,\,f(x) \mathop{=}_{x\rightarrow a} o(g(x)), \,\,f(x) \mathop{\sim}_{x\rightarrow a} g(x),\]

  • Application aux calculs de limites...


  • Fonctions de la variable réelle

  • Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, théorème limite de la dérivée...

  • Formules de Taylor, développements limités...


  • Question de cours n°1 :

  • Théorèmes de Rolle et des accroissements finis.

  • Question de cours n°2 :

  • Théorème limite de la dérivée

  • Question de cours n°3 :

  • La fonction \(x \rightarrow e^{-1/x^2}\) admet un ppc \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).

  • Le programme de la semaine 7
    du lundi 14 novembre au samedi 19 novembre 2016

    Séries numériques

  • Généralités, convergence absolue;

  • Séries alternées vérifiant le critère spécial: signe et majoration du reste;

  • Comparaison des séries à termes positifs; comparaison à une intégrale (pas encore vu le thm 12).

  • Critère de d'Alembert.

  • Pas encore parlé du produit de Cauchy (je n'abordrai la sommabilité que plus tard dans l'année)...


  • Interro de cours du lundi (les questions de cours pour les colles sont plus bas) :

  • démonstration du lemme des noyaux;
  • caractérisation barycentrique des convexes;
  • la relation \(\sim\) est symétrique (cas numérique);
  • l'exercice 19 du poly sur les séries de Bertrand;
  • les exercices CCP : n° 1,3,4,43,5,6,7,8.

  • Question de cours n°1 :

  • Une série absolument convergente est convergente (dans \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C} = \mathbb{R}^2\)).

  • Question de cours n°2 :

  • Démonstration du théorème sur les séries alternées (critère spécial)

  • Question de cours n°3 :

  • La démonstration du théorème séries intégrales (thm 11 du poly (fichier ici) ).

  • Le programme de la semaine 8
    du lundi 21 novembre au samedi 26 novembre 2016

    Séries numériques

  • L''ensemble du cours sauf la sommabilité (que je n'aborderai que plus tard dans l'année)


  • Intégrale généralisée (ou impropre)

  • L'ensemble du cours.


  • Question de cours n°1 :

  • De l'entraînement ((calculatoire généralisé) cette semaine.

  • Le programme de la semaine 9
    du lundi 28 novembre au samedi 03 décembre 2016

    Intégrales généralisées (ou impropre)

  • L'ensemble du cours.


  • Débbut sur les evn:

  • Notions de norme et de suite convergente.

  • Révision du cours de première année: bornes supérieures et bornes inférieures dans \(\mathbb{R}\).

  • On pourra interroger sur la topologie de \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)(cours de MPSI).

    Question de cours n°1 :

  • De l'entraînement cette semaine.

  • En prévision d'une interrogation de cours le 05/12 (et pour se préparer au DS du samedi 03/12, au cours duquel certaines de ces questions reviendront):

  • relations de comparaison: CCP: 1;3;4;43;
  • séries numériques: CCP: 5; 6; 7; 8; 46; 47;
  • intégration ; CCP 28; 29 q1 et q2 ; 47; 56;
  • dans le poly intégrales: l'exercice 4 (fichier ici)
  • dans le poly sur les séries, l'exercice 18 (constante d'Euler) (fichier ici)

  • Le programme de la semaine 10
    du lundi 05 décembre au samedi 10 décembre 2016

    Notions générales de topologie des evn:

  • Notions de norme et de suite convergente.

  • Normes équivalentes, interprétation en terme de limites de suites.

  • Boules ouvertes et fermées, points adhérents, caractérisation séquentielle, points intérieurs, adhérence et intérieur d'une partie de E, notion d'ouvert et de fermé. Caractérisation séquentielle de l'adhérence d'un ensemble, des fermés.

  • Limites des fonctions, continuité...


  • Question de cours n°1 :

  • De l'entraînement cette semaine.

  • Question de cours n°2 :

  • Caractérisation séquentielle des points adhérents.

  • Question de cours n°3 :

  • Caractérisation séquentielle des fermés. Application : une boule fermée est fermée.

  • Question de cours n°4 :

  • L'adhérence d'un convexe est un convexe.

  • Interrogation de cours le 05/12

  • relations de comparaison: CCP: 1;3;4;43;
  • séries numériques: CCP: 5; 6; 7; 8; 46; 47;
  • intégration ; CCP 28; 29 q1 et q2 ; 47; 56;
  • dans le poly intégrales: l'exercice 4 (fichier ici)
  • dans le poly sur les séries, l'exercice 18 (constante d'Euler) (fichier ici)

  • Le programme de la semaine 11
    du lundi 12 décembre au samedi 17 décembre 2016

    Notions générales de topologie des evn:

  • Notions de norme et de suite convergente.

  • Normes équivalentes, interprétation en terme de limites de suites.

  • Boules ouvertes et fermées, points adhérents, caractérisation séquentielle, points intérieurs, adhérence et intérieur d'une partie de E, notion d'ouvert et de fermé. Caractérisation séquentielle de l'adhérence d'un ensemble, des fermés.

  • Limites des fonctions, continuité images réciproques des ouverts et des fermés...


  • Espaces vectoriels normés de dimension finie: continuité des fonctions composantes dans une base donnée, équivalence des normes, continuité des applications linéaires (sans attendre l'étude systématique du dernier paragraphe), théorème de Bolzano-Weierstrass, séries absolument convergentes...


  • Question de cours n°1 :

  • De l'entraînement cette semaine, pas de question de cours en colles.

  • Interrogation écrite de cours du vendredi::

  • Caractérisation séquentielle des points adhérents.
  • Caractérisation séquentielle des fermés. Application : une boule fermée est fermée.
  • L'adhérence d'un convexe est un convexe.
  • Dans un evn les boules sont convexes.
  • dans le poly sur les séries, l'exercice 18 (constante d'Euler) (fichier ici) (Oui!)
  • les exercices de topologie du poly CCP...

  • Le programme de la semaine 12
    du mardi 03 janvier au samedi 10 janvier 2017

    Révision de topologie et fonctions vectorielles ou courbes paramétrées

  • On pourra mettre l'accent sur la continuité des applications linéaires et sur les normes matricielles ou la topologie dans les espaces de matrices (je n'ai pas encore parlé de connexité par arcs).


  • Question de cours n°1 :

  • Applications linéaires: différentes caractérisations de la continuité (thm 40 du poly).

  • Question de cours n°2 :

  • Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les séries absolument convergentes sont convergentes.

  • Question de cours n°3 :

  • Majoration de la norme d'une intégrale de fonction vectorielle: exercice 5 du poly (fichier ici) .
  • (une des premières questions pour comprendre de quoi il s'agit, la dém générale par densité a juste été évoquée: elle peut servir d'exo ou de question de cours pour les plus à l'aise d'entre vous. Le colleur décidera :-))

    Interrogation écrite de cours à venir:

  • Caractérisation séquentielle des points adhérents.
  • Caractérisation séquentielle des fermés. Application : une boule fermée est fermée.
  • L'adhérence d'un convexe est un convexe.
  • Dans un evn les boules sont convexes.
  • dans le poly sur les séries, l'exercice 18 (constante d'Euler) (fichier ici) (Oui!)
  • les exercices de topologie du poly CCP...

  • Le programme de la semaine 13
    du mardi 09 janvier au samedi 14 janvier 2017

    Suites et séries de fonctions

  • Convergence simple, convergence uniforme.
  • Continuité d'une limite uniforme, interversion des limites.
  • Notions au programme, qui ne seront vues que lundi 09/01 (nous sortons d'une semaine réduite): intégration d'une limite uniforme sur un segment, théorème de dérivation d'une limite.


  • Question de cours n°1 :

  • Si une suite de fonctions bornées converge uniformément vers \(f\) sur \(A,\) \( f\) est bornée sur \(A\) et il existe un majorant uniforme pour la suite \((f_n)_n\)..

  • Question de cours n°2 :

  • Continuité d'une limite uniforme, démonstration.

  • Question de cours n°3 :

  • L'exercice 8 du poly, (fichier ici) .

  • Le programme de la semaine 14
    du lundi 16 au samedi 21 janvier 2017

    Suites et séries de fonctions, approximations uniformes

  • Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale.
  • Continuité d'une limite uniforme, interversion des limites, intégration d'une limite uniforme sur un segment, théorème de dérivation d'une limite: cas des séries.
  • Aproximations uniformes de fonctions continues ou cpm par des fonctions en escalier; théorème (algébrique) de Weierstrass. Ce sera l'occasion de revoir la notion de continuité uniforme.


  • Question de cours n°1 :

  • Continuité uniforme; démonstration du théorème de Heine.

  • Question de cours n°2 :

  • Continuité uniforme (plus facile): \(x \rightarrow x^2 \) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}^+.\)

  • Question de cours n°3 :

  • Une application du théorème de Weierstrass: question 1 de l'exercice 61 du poly (fichier ici) .

  • Question de cours n°4 :

  • Approximation uniforme d'une fonction continue par les fonctions en escalier (fichier ici) .

  • Question de cours n°5 :

  • L'exerice 31 du poly (comme illustration pour le théorème de dérivation (fichier ici) , les applications utiles sont dans les exercices 33 et 34 -équation de la Chaleur- mais c'est trop long).

  • Le programme de la semaine 15
    du lundi 23 au samedi 28 janvier 2017

    Suites et séries de fonctions, approximations uniformes

  • Révisions.


  • Séries entières

  • Tout le chapitre: (fichier ici) .


  • Question de cours n°1 :

  • Pas de question de cours, mais une interrogation écrite à préparer pour la fin de la semaine.

  • Interrogation écrite: :

  • les exercices suites et séries de fonctions séries entières, approximation des fonctions de la banque CCP (voir (fichier ici) ).

  • Le programme de la semaine 16
    du lundi 30 janvier au samedi 04 février 2017

    Suites et séries d'intégrales

  • Théorème de convergence dominée.
  • Théorème d'intégration terme à terme.
  • Intégrales dépendant d'un paramètre.


  • Question de cours n°1 :

  • Pas de question de cours, de l'huile de coude.

  • Interrogation écrite dans la semaine:

  • les exercices suites et séries de fonctions séries entières, approximation des fonctions, suites d'intégrales et intégrales à paramètre (c'est nouveau) de la banque CCP (voir (fichier ici) ).

  • Le programme de la semaine 17
    du lundi 06 février au samedi 11 février 2017

    Dénombrabilité, Familles sommables (vite fait en classe: objectifs minimaux)

  • Définitions (fini, dénombrable, au plus dénombrable).
  • \(\mathbb{Z}, \mathbb{N}^2\) sont dénombrables, réunions, produits cartésiens: résultats à connaître.
  • Définition des familles sommables de réels positifs ou de complexes; cas des suites doubles.
  • Cas où l'ensemble des indices est \(\mathbb{N}\), lien avec la notion de série absolument convergente.
  • Cas des suites doubles (théorème de type Fubini).


  • Probabilités

  • Notions de tribu, d'espace probabilisable, d'espace probabilisé.
  • Notion de variable aléatoire discrète; image réciproque d'une tribu: les définitions doivent être connues, sans plus.
  • Les trois formules fondamentales: probabilités totales, probabilités composées, formule de Bayes.
  • Evénements indépendants.
  • Remarque : Les lois usuelles seront (re)vues lundi matin.


  • Question de cours n°1 :

  • Théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.

  • Question de cours n°2 :

  • L'exercice sur la sommabilité n° 40 question 1 ou 2 ( (fichier ici) ).

  • Question de cours n°3 :

  • L'exercice sur la sommabilité n° 41 question 1 ou 2 ( (fichier ici) ).

  • Le programme de la semaine 19
    du lundi 06 mars au samedi 11 mars 2017
    pas de colle la semaine 18: concours blanc...

    Probabilités

  • Notions de tribu, d'espace probabilisable, d'espace probabilisé.
  • Notion de variable aléatoire discrète; image réciproque d'une tribu: les définitions doivent être connues, sans plus.
  • Les trois formules fondamentales: probabilités totales, probabilités composées, formule de Bayes.
  • Evénements indépendants.
  • Les lois usuelles: binomiales, géométrique, de Poisson.
  • Inégalité de Markov, de Bienaymé Tchebycheff, loi faible des grands nombres.
  • Séries Génératrices.


  • Révisions d'Algèbre Générale:

  • Rappels d'arithmétique: algorithme d'Euclide étendu.
  • Notion de groupe (révisions du cours de MPSI, groupe produit).


  • Question de cours n°1 :

  • Inégalité Bienaymé Tchebycheff

  • Question de cours n°2 :

  • Loi faible des grands nombres.

  • Question de cours n°3 :

  • Inégalité de Markov.

  • Question de cours n°4 :

  • L'exercice de probabilités du concours blanc (fichier ici) .

  • Question de cours n°5 :

  • Fonctions génératrices des lois usuelles, calcul de l'espérance et de la variance (tableau de la page 33-34, (fichier ici) ).

  • Question de cours n°6 :

  • Algorithme d'Euclide étendu : terminaison invariant de boucle...(exercice 1.2, page 6 (fichier ici) ).

  • Le programme de la semaine 20
    du lundi 13 mars au samedi 18 mars 2017

    Rappel
    Interro de cours analyse ce lundi
    Commencer dans la foulée à revoir les exos de probas pour la prochaine.

    Algèbre Générale:

  • Rappels d'arithmétique: algorithme d'Euclide étendu.
  • Notion de groupe (révisions du cours de MPSI, groupe produit).
  • Congruences dans \(\mathbb{Z}, +, \times)\), compatibilités avec les lois usuelles; anneaux \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)\).
  • Notion de groupe monogène (et cyclique): un groupe monogène est soit infini et isomorphe à \(\mathbb{Z}, +)\), soit fini et isomorphe à \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\).
  • Racines n-ièmes de l'unité dans \(\mathbb{C}\); racines primitives.
  • Théorème de Lagrange (groupes finis).
  • Idéaux dans un anneau commutatif, .
  • On n'abordera le lemme Chinois, l'indicateur d'Euler et le théorème d'Euler que le Lundi 12/03.


  • Question de cours n°1 :

  • Caractérisation des sous-groupes de \( (\mathbb{Z}, +)\) (révision d'un programme précédent).

  • Question de cours n°2 :

  • Caractérisation des idéaux de l'anneau des polynômes \( (\mathbb{K} [X], +, \times)\) (révision d'un programme précédent).

  • Question de cours n°3 :

  • Caractérisations des éléments générateurs de \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) et des inversibles de \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)\) .

  • Question de cours n°4 :

  • Caractérisation des groupes monogènes .

  • Question de cours n°5 :

  • Caractérisation des groupes monogènes finis.

  • Question de cours n°6 :

  • Caractérisation des groupes monogènes infinis.

  • Le programme de la semaine 20
    du lundi 20 mars au samedi 25 mars 2017

    Espaces préhilbertiens et euclidiens:

  • Espaces préhilbertiens, orthogonalité, orthogonal d'un sous-espace
  • Cas d'un sev de dim finie: expression de la projection orthogonale;
  • Familles orthogonales et familles totales.
  • Endomorphismes symétriques et orthogonaux dans les espaces Euclidiens;
  • Réduction des endomorphismes symétriques;


  • Le programme de la semaine 21
    du lundi 27 mars au samedi 01 avril 2017

    Equations et systèmes différentiel(le)s linéaires.

    Le programme de la semaine 22
    du lundi 03 avril au vendredi 07 avril 2017

    Fonctions de plusieurs variables; calcul différentiel. Colles en temps réels (cours le matin colles l'am!).

  • Joseph-Louis Lagrange
  • Joseph-Louis Lagrange
  • Henri Lebesgue
  • Henri Lebesgue
  • Henri Lebesgue
  • Henri Lebesgue
  • Henri Lebesgue
  • Henri Lebesgue
  • Karl Weierstrass sur bibmaths
  • Niels Abel
  • Henri Lebesgue
  • Henri Lebesgue
  • Paul Lévy: de l'intégrale de Fourier aux probabilités.
  • Kolmogorov sur BibMaths
  • Sophie Germain, une algébriste...
  • David Hilbert
  • Henri Cartan
  • Ci-dessous, un accès direct aux programmes antérieurs:
  • semaine1;
  • semaine2;
  • semaine3;
  • semaine4;
  • semaine5;
  • semaine6;
  • semaine7;
  • semaine8;
  • semaine9;
  • semaine10;
  • semaine11;
  • semaine12;
  • semaine13;
  • semaine14;
  • semaine15;
  • semaine16;
  • semaine17;
  • semaine19;
  • semaine20;
  • semaine21;